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\begin{document}
\tableofcontents
%_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________				
\begin{center}
\chapter*{\hrulefill{}$${\calligra INTRODUCTION}$$\hrulefill{}}
\end{center}
\lettrine{L}'objectif de ce travail est de pr\'{e}senter, des r\'{e}sultats d'existence et d'unicit\'{e} des solutions  continues et intégrables pour des équations intégrales de type (Fredholm, Volterra et Hammerstein).\\
 Tous les problèmes \'{e}tudiés sont consid\'{e}r\'{e}s dans un espace de Banach.\\
 La technique utilis\'{e}e c'est de ramener l'\'{e}tude de notre probl\`{e}me à la recherche d'un point fixe d'un op\'{e}rateur int\'{e}gral convenablement construit. En appliquant des th\'{e}or\`{e}mes de point fixe. (Le théorème du point fixe de Banach, Schauder, Leray-Schauder et de schaefer). \\	
 \par\textbf{Le contenu} de ce m\'{e}moire est bas\'{e} sur les articles \textbf{\cite{K1,K2,K3}}.\\
les \'{e}quations int\'{e}grales jouent un r\^{o}le très important dans l'analyse fonctionnlle, ainsi que dans la r\'{e}solution des problèmes de la physique. \\
les principaux fondateurs de la th\'{e}orie d'\'{e}quation int\'{e}grales sont Vito Volterra (1860 -1940), et Ivar Fredholm (1866 - 1927), ainsi que David Hilbert (1862 - 1943) et Erhard Schmidt (b.1876). Volterra était le premier \`{a} avoir identifier  l'importance de la théorie et pour la considérer syst\'{e}matiquement, mais la contribution de Fredholm a permis le franchissement (environ 1900), (plut\^{o}t qu'\'{e}vitant), de la difficulté li\'{e}e \`{a} la disparition du d\'{e}terminate des coefficients. n\'{e}anmoins, la priorit\'{e} de Volterra g\'{e}n\'{e}ralement aurait \'{e}t\'{e} reconnue si son premier papier sur le sujet (1896) avait \'{e}t\'{e} pr\'{e}sent\'{e} diff\'{e}remment.
Mais Volterra au lieu de d\'{e}duire ses r\'{e}sultats par les m\^{e}mes m\'{e}thodes qu'il a employées pour leur d\'{e}couverte (qui \'{e}taient identiques \`{a} ceux utilisées plus tard tellement avec succès par Fredholm) a simplement \'{e}dit\'{e} une v\'{e}rification de sa solution \textbf{\cite{a8}}.\\	
\par La th\'{e}orie du point fixe est au coeur de l'analyse non lin\'{e}aire appliquée aux \'{e}quations int\'{e}grales puis qu'elle fournit les outils n\'{e}cessaires pour avoir des théorèmes d'existence dans beaucoup de problèmes non-lin\'{e}aires diff\'{e}rents. Les th\'{e}orèmes du point fixe sont les outils math\'{e}matiques de base en montrant l'existence des solutions dans divers genres d'\'{e}quations.\\
\textbf{ Ce m\'emoire} se compose en quatre chapitres .
 \vskip 0.3 cm
Dans  \textbf{le premier Chapitre} (intitul\'e \textbf{"Pr\'eliminaire"}), nous donnons notations, d\'{e}finitions, et dans la dernière section on donne une introduction à la th\'{e}orie du point fixe et quelques th\'{e}orèmes du point fixe (Le th\'{e}orème du point fixe de Banach, Schauder, Leray-Schauder et de schaefer).\\
\par\textbf{Le deuxi\`eme chapitre} est une introduction à la terminologie et à la classification des \'{e}quations int\'{e}grales, tel que on va pr\'{e}senter une classification pour les \'{e}quations int\'{e}grales lin\'{e}aires et non-linéaires, comme on a donn\'{e} des exemples sur ces \'{e}quations,\\
\par Dans \textbf{Le troisi\`eme chapitre }Nous pr\'{e}sentons, des r\'{e}sultats d'existence et d'unicit\'{e} des solutions  continues pour  l'\'{e}quation int\'{e}grale de type Fredholm. 
\begin{equation*} 
		x(t) = f(t) + \int_{a}^{b} g(t, s ,x(s))ds  ,\qquad -\infty < a \leq t \leq b < +\infty,
		\end{equation*}	
et de type Volterra suivante:

	\begin{equation*}
		x(t) = f(t) + \int_{a}^{t}g(t,s,x(s))ds, \qquad -\infty < a \leq t \leq b < +\infty ,
		\end{equation*}
 \par \textbf{Le quatri\`eme chapitre} est consacr\'{e} à l'existence des
solutions int\'egrables dans l'espace $ L_{p,\mu}$ de l'\'{e}quation int\'{e}grale non-lin\'{e}aire de type Hammerstein suivante:
\begin{equation*}
	x(t) = g(t) + \int_{0}^{+\infty}k(t,s)f(s,x(s))ds.
	\end{equation*}
		
\par \textbf{Mots cl\'{e}s}: \'{e}quation int\'{e}grale, \'{e}quations int\'{e}grales lin\'{e}aires et non-lin\'{e}aires, \'{e}quations intégrales de type Fredholm et Volterra, équations intégrales non-linéaires de type Hammerstein, espace de Banach, Le théorème du point point fixe, opérateur intégral.
%_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________		 
\begin{center}
\chapter{Pr\'eliminaire}
\end{center}
\par Dans ce chapitre nous pr\'esentons des notations, d\'efinitions et des th\'eor\`emes  utilis\'es dans ce m\'emoire.

%______________________________________________________________________________________________________	 
\section{Rappels Sur Les Espaces Fonctionnels}
	Commen\c{c}ant par rappeler la définition d'un espace vectoriel norm\'{e}.
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\begin{definition}
		(\textbf{Espace vectoriel norm\'{e}}) Soit $ E$ un espace vectoriel sur le corps\\ $\mathbb{K}= \mathbb{R}  $ ou $ \mathbb{C}$, on appelle norme sur l'espace $E$ toute application notée $ \|\cdot\|$ d\'{e}finie sur $E$ à valeurs dans $\R_{+}$, v\'{e}rifiant pour tout $x,y$ dans $E$ et $\alpha$ dans $\mathbb{K}$.	\\
%______________________________________________________________________________________________________		 
		\begin{itemize}
			\item[(i)] $ \|x\|=0$ si  seulment si $x=0 $.\\
			\item[(ii)] $ \|\alpha x\|=|\alpha| \|x\|$ (homogènéité).\\
			\item[(iii)] $ \|x + y\|\leq\|x\|+\|y\|$ (inégalité triangulaire).\\\\
			Tout espace vectoriel muni d'une norme est appelé espace vectoriel normé.
		\end{itemize}
	\end{definition}
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\begin{definition}
		(\textbf{Espace métrique complet}) On dit que $E$ est un espace métrique\\
		 complet si toute suite de Cauchy de $E$ converge dans $E$.
	\end{definition}
%______________________________________________________________________________________________________
	\begin{definition}
		(\textbf{Espace de Banach}) Tout espace vectoriel normé complet est appelé espace de Banach.
	\end{definition}
%______________________________________________________________________________________________________
	\begin{definition}
		(\textbf{Espace $ C[a , b]$}) L'espace des fonctions continues sur $[a , b]$, muni de la norme: $$\|x\|=\displaystyle\max_{t\in [a,b]}|x(t)|.$$
	\end{definition}

\begin{definition}
Soit $ \mu(.) $ une fonction mesurable positive arbitraire sur $ \R_+ $,  on désigne par $ L^p(\R_+,d\mu) $ l'espace pondéré de toutes les fonctions mesurables $ x $ satisfaisant les conditions suivantes:
	$$ \int_{\R_+}|x(t)|^p\mu (t)dt<\infty .$$
l'espace pondéré $ L_{p,\mu} = L^p(\R_+,d\mu) $
muni de la norme definie par:
	$$ \parallel x \parallel_{p,\mu} = \left( \int_{\R_+}|x(t)|^p \mu(t)dt\right)^\frac{1}{p}, $$\\
de plus l'espace $ L_{p,\mu} $ est un espace de Banach.\\	
\end{definition}
%______________________________________________________________________________________________________	 
\begin{definition}
		(\textbf{Espace $L^{p}(\Omega)$}) Soit $1 \leq p\leq \infty $, on pose
\begin{center}
			$ L^{p}(\Omega)= \left\lbrace f: \Omega\rightarrow \R, f\; \; mesurable \; et \;\; \displaystyle\int_\omega |f(x)|^p <\infty\right\rbrace.  $
		\end{center}
		muni de la norme.

			$$\| f\|_{L^{P}}= \|f\|_{p}= \left( \int_{\Omega}|f(x)|^{p}dx\right) ^{\frac{1}{p}}.$$
	
		Si $ p=\infty,$ on a $L^{\infty}(\Omega)$ est l'espace des fonctions $f:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ mesurables, vérifiant \\
\begin{center}
$ \exists\; c > 0 $ telle que $|f(x)|\leq c$,\qquad p.p. sur $\Omega.$
		\end{center}
	\end{definition}
\begin{definition}
		(\textbf{Espace $L^{1}(\Omega)$}) Soit $\Omega $ un ouvert de $\R^{n}$, on désigne par $L^{1}(\Omega)$ des fonctions intégrables sur $\Omega$ à valeur dans $\R$, muni de la norme:
		$$ \|f\|_{1}=\int_{\Omega}|f(x)|dx.$$
	\end{definition}
\section{Quelques Définitions et Théorèmes }
\begin{definition}\textbf{( Ensemble convexe)} une partie $ C $ d'un espace vectoriel réel $ E $ est dite convexe si et seulement si :\\
		$$ \forall x , y \in C , \qquad \forall \alpha \in [0,1] : \qquad \alpha x + (1 - \alpha)y \in C. $$
	\end{definition}
\begin{definition}
		Soit $C(J,\mathbb{R})$ l'espace des fonctions continues d'un intervalle compact $J$ dans $\mathbb{R}$ de l'espace de Banach $X$, $M$ un sous ensemble de $C(J,\mathbb{R}).$
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] $M$ est dit \textbf{\'equicontinu}  si est seulement si:
\\$\forall \varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall t_1,t_2\in J:\\ \lVert t_1-t_2\rVert\leq\delta\Rightarrow\lVert f(t_1)-f(t_2)\rVert\leq\varepsilon,\;\forall f\in M$.
\item[\textbf{2.}] $M$ est dit \textbf{uniformément borné} si et seulement si:
\\$ \exists c>0: \lVert f(t)\rVert \leq c , \qquad \forall t\in J\qquad et \qquad \forall f\in M$.
\end{enumerate}
	\end{definition}
	\begin{thm} \textbf{\cite{ii} }\textbf{(Ascoli Arzela)} \\
		Soit $C(J,\mathbb{R})$ l'espace des fonctions continues d'un intervalle compact $J$ dans $\mathbb{R}$ de l'espace de Banach $X$, $M$ un sous ensemble de $C(J,\mathbb{R})$.\\
		Un  sous ensemble $ M $ de $  \textbf{} (J,\mathbb{R}) $ est relativement compact si :	
		\begin{itemize}
			\item[-] $ M $ est uniformement born\'e.
			\item[-] $ M $ est \'equicontinu.
		\end{itemize}
	\end{thm}
La caractérisation de Kolmogorov des ensembles relativement compact dans l'espace $L_{p,\mu}$ est donnée par le théorème suivant:
	\begin{thm}\textbf{\cite{cr}}\textbf{(critère de compacité de Kolmogorov dans $L_{p,\mu}$)}\label{H1.3}
		X un sous ensemble borné dans $L_{p,\mu}$,$1<p<\infty$ est relativement compact si et seulement si :\\
		(i) $\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\parallel x(t+h)-x(t)\parallel_{p,\mu}=0$,
		uniformément  sur X.\\
		(ii) $ \displaystyle\lim_{A\rightarrow\infty}\int_{A}^{+\infty}|x(t)|^p\mu(t)dt=0$, uniformément sur  X.
	\end{thm}
	\begin{lemme}\textbf{\cite{gr}}\textbf{(Lemme de Gronwall)} Soit $ u : I \subset \mathbb{R} \longrightarrow E $ une application continue,  positive. On suppose qu'il existe $ \lambda $ et $ \mu $ deux fonctions continues $(\lambda \geq 0) $ satisfaisant
		\begin{equation}
		u(t) \leq \mu(t) + \int_{t_{0}}^{t} \lambda (s) u(s) ds ,  \qquad \forall t \in [ t_{0}, b ].
		\end{equation}	
		Alors,  $ u $ satisfait l'estimation suivante
		\begin{equation*}
			u(t) \leq \mu(t) + \int_{t_{0}}^{t}\lambda(s) u(s) \exp \left( \int_{s}^{t} \lambda(y) dy \right) ds .
		\end{equation*}
		Dans le cas particulier $ \mu(t) \equiv C $,  on obtient  la majoration suivante :
		\begin{equation*}
			u(t) \leq C \exp \left( \int_{t_{0}}^{t} \lambda(s) ds \right).
		\end{equation*}
	\end{lemme}

	\begin{definition}\textbf{\cite{f9}	}	
Une fonction $f : J\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $  est dite \textbf{Carath\'eodory} si:
\begin{enumerate}
\item[\textbf{(i)}] La fonction $t\rightarrow f(t,x,y)$ est mesurable pour chaque  $(x,y)\in\mathbb{R}\times \mathbb{R}$.
\item[\textbf{(ii)}] La fonction $(x,y)\rightarrow f(t,x,y)$ est continue  presque  par tout $t\in J$.
\end{enumerate}
	\end{definition}
	\begin{definition}\textbf{\cite{cv do}}\textbf{(Théorème de convergence dominée de Lebesgue)}\\
		Soit $(f_{n})$ une suite de fonctions de $L^{1}$. On suppose que
		\begin{itemize}
			\item[i)] $f_{n}(x)\rightarrow f(x) $ p.p  sur $\Omega. $
			\item[ii)] il existe une fonction $ g\in L^{1}$ telle que pour chaque $ n, |f_{n}(x)|\leq g(x)$ p.p. sur $ \Omega $.
		\end{itemize}
		Alors \\
		$$ f \in L^{1}(\Omega) \;\; et \;\; \|f_{n}-f\|_{l^{1}}\rightarrow 0. $$
	\end{definition}
\textbf{Inégalité de Hölder }\\
	Soient $ p $ et $ q $ deux exposants conjugués (i.e. $ \frac{1}{p}+ \frac{1}{q} = 1) $ et  $ f \in L^{p} , g \in L^{q} $\\
	alors,\\
	$$ f.g \in L^{1} \qquad et \qquad \int |fg|\leq \|f\|_{p} . \|g\|_{q}. $$\\
	Un cas particulier de l'inégalité de Hölder pour $ p = q = 2 $, on a \\
	$$ \int |f.g| \leq \left(  \int |f|^{2}dx\right) ^{\frac{1}{2}} \left( \int |g|^{2} dx \right) ^{\frac{1}{2}}. $$ \\
	cette inégalité est appelée inégalité de Cauchy-Schwarz.
\begin{definition}\textbf{\cite{cv do}}(\textbf{Fubini}) On suppose que $F\in  L^{1}(\Omega_{1} \times\Omega_{2}), $ Alors, pour presque tout $x\in \Omega_{1} $,
	
	$$F(x,y)\in L_{y}^{1}(\Omega_{2}) \qquad et \qquad \int_{\Omega_{2}}F(x,y)dy \in L_{x}^{1}(\Omega_{1}).$$
	De m\^{e}me, pour presque tout $y\in \Omega_{2}$
	
		$$F(x,y)\in L_{x}^{1}(\Omega_{1}) \qquad et \qquad \int_{\Omega_{1}}F(x,y)dx \in L_{y}^{1}(\Omega_{2}).$$
		De plus on a
		$$\int_{\Omega_{1}}dx \int_{\Omega_{2}}F(x,y)dy=\int_{\Omega_{2}}dy \int_{\Omega_{1}}F(x,y)dx = \iint_{\Omega_{1} \times\Omega_{2}} F(x,y)dxdy.$$
\end{definition}



\section{Notions Sur Les Opérateurs}.
\begin{definition}
		(\textbf{Opérateur Linéaire}) Soit $A$ un opérateur d'un espace normé $E$ dans un espace normé $F$, on dit que $T$ est linéaire s'il vérifie les conditions suivantes:
pour tout $\varphi_1,\  \varphi_2$ dans $E$ et $\lambda$ dans $\mathds{K}=(\mathds{R}\ ou  \ \mathds{C}).$
\begin{itemize}
			\item[i)] $\forall\varphi_1,\ \varphi_2 \in E \ on\;a,\ T(\varphi_1+ \varphi_2)=T(\varphi_1)+T(\varphi_2). $
			\item[ii)] $\forall\varphi\in E \ et \ \lambda\in\mathds{K}\ on\;a, \  T(\lambda\varphi)=\lambda T(\varphi) $.
		\end{itemize}


	\end{definition}
\begin{definition}
(\textbf{Opérateur borné }) Soit $A$ un opérateur Linéaire d'un espace normé $E$ dans un espace normé $F$, on dit que $A$ est borné s'il existe une constante positive $C$,
telle que:
$$\|A(x)\|_F\leq C\|x\|_F \ ,\forall x \in E.$$
	\end{definition}
	\begin{definition}
		Soit E un espace de Banach et $T :E\rightarrow E $ un op\'erateur.
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] $T$ est dit \textbf{ continu} si pour
toute suite $(x_n)_{n\in N}$ dans E tel que  $(x_n)_{n\in N}$ converge vers $x$ dans E, la suite $(Tx_n)_{n\in N}$ converge vers $Tx$.
\item[\textbf{2.}] $T$ est dit \textbf{ compact}, si pour tout born\'e $B$ de E, $T(B)$ est relativement compact.
\item[\textbf{3.}]   $T$ est dit \textbf{compl\`etement continu} si $T$ est continue et si l'image de tout born\'e $B$ de E est relativement compact.
 \item[\textbf{4.}] Un opérateur compact est un opérateur borné, la réciproque est fausse.		
\end{enumerate}
	\end{definition}

\subsection{L'opérateur de Nemytskii}.
	\begin{definition}
		Soit $ f : \Omega \times \R^{n}\rightarrow \R $ est une fonction de Carathéodory, l'opérateur $ u \mapsto F u $ défini par $ (Fu)(x) = f(x,u(x)) $ est appelé opérateur de Nemytskii.
	\end{definition}
 $L_{p}$-continuité de l'opérateur de Nemytskii sera utile pour prouver la continuité des opérateurs intégrales non linéaires.
	\begin{thm}\textbf{\cite{K3}(La continuité de l'opérateur de Nemytskii)}
		Soit G un sous ensemble mesurable de $\R$ et soit $f:G\times\R\rightarrow \R$ satisfait les conditions de Caratéodory.\\
		(i) $f(\cdot,x):G\rightarrow \R $ est mesurable pour chaque $x\in \R.$
		\\
		(ii) $f(t,\cdot):\R \rightarrow \R$ est continue pour p.p $t\in G.$\\
		soit $p\geq 1,\;q<\infty,\;k\in L^{q}(G)$, et supposant que \\
		\begin{equation}
		|f(t,x)|\leq c|x|^{\frac{p}{q}}+k(t)\qquad t\in G,\qquad x\in \R.
		\end{equation}
		Puis l'opérateur définit par \\
		$$F(x)(t)=f(t,x(t)),\qquad pour\quad  p.p \quad t\in G,\qquad x\in L^{p}(G).$$\\
		est borné et continu.
	\end{thm}
\section{Quelques théorèmes de Point Fixe }
\textbf{Introduction}\\
\par La théorie du point fixe est au cœur de l'analyse non linéaire appliquée aux équations intégrales puis qu'elle fournit les outils nécessaires pour avoir des théorèmes d'existence dans beaucoup de problèmes non-linéaires différents. Les théorèmes du point fixe sont les outils mathématiques de base en montrant l'existence des solutions dans divers genres d'équations.\\
\par Les théorèmes de point fixe sont un résultat qui permet d'affirmer qu'une fonction $f$ admet sous certaines conditions un point fixe. Ces théorèmes se révèlent \^{e}tre des outils très utiles en mathématiques, principalement dans le domaine de la résolution des équations différentielles et intégrales.
\textbf{Dans ce mémoire}, on va étudier des différents théorèmes du point fixe tels que le théorème de Banach, Schauder, Schaefer et de Leray-Schauder. Étant donnés un ensemble $M$ et une application $T:M\rightarrow M $, ces théorèmes donnent certaines conditions sous lesquelles $T$ admet un point fixe dans $M$. Ces théorèmes sont importants dans les mathématiques car ils ont plusieurs applications, par exemple trouver les racines d'un polyn\^{o}me, ou montrer l'existence des solutions numériques des équations intégrales.\\
\par Un de ces théorème est le théorème de l'application contractante prouvé par Banach en (1922) dit qu'une contraction d'un espace métrique complet dans lui-m\^{e}me admet un point fixe unique. Ce théorème donne un comportement régulier du point fixe par  rapport aux paramètres. De plus, il fournit un algorithme d'approximation du point fixe comme limite d'une suite itérée. Mais d'une part, montrer que la fonction est contractante peut entra\^{\i}ner de laborieux calculs. D'autre part, les conditions sur la fonction et l'espace étudiés restreignent le nombre de cas auxquels on peut appliquer le théorème.\\
\par Le théorème du point fixe de Schauder établi en 1930, est plus topologique et affirme qu'une application continue sur un convexe compact admet un point fixe, qui n'est pas nécessairement unique. Il n'est pas donc nécessaire d'établir des estimées sur la fonction, mais simplement sa continuité. Ceci nous donne la possibilité de traiter plus de cas qu'avec le Théorème de Banach (par exemple, l'identité).\\
Le théorème de Leray-Schauder, est aussi appelé théorème de continuité, représentent un outils puissant d'existence en étudiant les équations d'opérateur. Par des moyens de théorème de continuité nous pouvons obtenir une solution d'équation donnée si nous commençons par une des solutions de l'équation simple.\\

\subsection{Quelque Théorèmes du Point Fixe}
\begin{definition}
Soit $T$ un opérateur défini dans un espace de Banach E dans lui-même, alors pour tout $x\in E$, tel que $x=T(x)$, s'appelle un point fixe de l'opérateur $T$. 
\end{definition}
\begin{definition}
Soit $(X,d)$un espace m\'etrique. une application $T : X \rightarrow X $ est dite Lipschitzienne s'il existe une constante $k$ (appel\'ee constante de Lipschitz) telle que: $$ d(T(x),T(y))\leq kd(x,y)\qquad pour\,\; tout\; x,y\in X.$$
une application Lipschitzienne avec une constante de Lipschitz $0<k<1$ est appel\'ee contraction.
\end{definition}
\begin{thm}\textbf{\cite{sch}}
\textbf{(Th\'eor\`eme du point fixe de Banach)}.\\
Soit $(X,d)$un espace m\'etrique complet. une application $T : X \rightarrow X $ est une contraction avec la constante de Lipschitz $k$. Alors $T$ a un point fixe unique $x\in X$.
\end{thm}
Le théorème du point fixe de Schauder suivant est le plus utilisé dans les applications:
	\begin{thm}\textbf{\cite{sch}}\textbf{(Théorème de point fixe de Schauder)}.\\
Soit $X$ un espace de Banach, $ D \subset X $ un ensemble convexe, fermé, borné et non vide. Et soit $T:D\rightarrow D$ un opérateur complètement continue. Alors $T$ admet au moins un point fixe.
	\end{thm}
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		\begin{thm}\textbf{\cite{sch}}
		(\textbf{Théorème de point fixe de Leray-Schauder}).\\
		Soit $ (X,|\cdot|) $ un espace de Banach et supposons que $ T \in C(X,X) $ et compact. Supposons que pour toute solution $ x, $ \\
		telle que $ x = \lambda Tx,\;0\leq \lambda \leq 1 $ vérifier l'estimation à priori $ |x|\leq M $ pour une constante $ M > 0 $, alors $ T $ a un point fixe.
	\end{thm}

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	\begin{thm}\textbf{\cite{sch}} \textbf{{Théorème du point fixe de Schaefer}}.\\
	 Soit $ X $ un espace de Banach et $ T :  X \rightarrow X $ est un op\'erateur complètement continu \\
		on a alors l'alternative suivante :
		\begin{itemize}
			\item[i)]	Ou bien, l'équation op\'erateur $  x = \lambda T x $ admet une solution pour $ \lambda = 1. $
			\item[ii)] Ou bien, l'ensemble $ \varepsilon =\left\lbrace x\in X,\: x = \lambda T x,\; \lambda \in [0, 1 ] \right\rbrace  $ est non born\'e.\\
			Pour les arguments des théorèmes du points fixe, le lecteur peut \\
			voir \textbf{$\cite{f6,f7,f8,f9,f10,f11,f12,f13}$}
		\end{itemize}
	\end{thm}
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\chapter{Introduction \`{A} La Théorie Des \'{E}quations Intégrales}
Dans ce chapitre, on donne les définitions et les types des équations intégrales et leurs classifications, avec une introduction à la théorie de ces équations.
\section{Introduction}
Une équation intégrale est une équation dans laquelle l'inconnu, généralement est une fonction d'une ou plusieurs variables, se produit sous signe intégral.
	\begin{equation*}
	\int_{E} K(x,y,\varphi(y) )dy =\lambda\varphi(x)+f(x)
	\end{equation*} 
	Cette définition plut\^{o}t générale tient
compte de beaucoup de différentes formes spécifiques et dans la pratique beaucoup de types distincts surgissent. Dans la théorie classique d'équations
intégrales on distingue les équations de Fredholm (Ivare Fredholm (1866-1927),
 mathématicien Suédois).
 \begin{equation*}
 		\varphi(x)-\lambda\int_{a}^{b}K(x,y)\varphi(y)=f(x).
 	\end{equation*}
 	et les équations de Volterra (Vito Volterra ($1860-1940$), mathématicien Italien ).
 	 \begin{equation*}
 	 		\varphi(x)-\lambda\int_{a}^{x}K(x,y)\varphi(y)=f(x). 
 	 	\end{equation*}
 	
% 	
 Dans une équation de Fredholm les régions d'intégrations sont fixées, tandis que dans une équation de Volterra une région est variable. Quelques équations intégrales s'appellent singulières, quelques auteurs appellent une équation singulière si l'intégral ne peut pas \^{e}tre interprétée comme d'habitude (c'est-à-dire: dans le sens de Riemann ou de Lebesgue ), mais doit \^{e}tre considéré en tant que intégral de valeur principale.\\


\begin{definition}
On appelle équation intégrale toute équation de la forme
	\begin{equation}\label{eq2.1.1}
	\int_{E} K(x,y,\varphi(y) )dy =\lambda\varphi(x)+f(x).
	\end{equation}
	o\`{u} $E$ est un espace mesuré, $f(x)$ une fonction mesurable donnée sur $E, \;\lambda$ un scalaire donné qui peut \^{e}tre réel ou complexe et $ K(x,y,\varphi(y)) $ une fonction mesurable sur $E^3$ appelée noyau de l'équation intégrale.\\
Avec toutes ces données, notre problème est de chercher la fonction $\varphi$ qui satisfait l'équation $ \eqref{eq2.1.1}.$
\end{definition}
%_______________________________________________________________________________________________________
\begin{definition}
On dit qu'une équation intégrale est singulière si l'une ou les limites d'intégration sont infinies, ou bien le noyau devient infini au voisinage des limites de l'intégration.
\end{definition}
\begin{definition}
un opérateur intégral linéaire $A$ est un opérateur linéaire qui admet une formulation de la forme suivante:
\begin{equation*}
		A\varphi(x)=\int_{\Omega} K(x,y)\varphi(y)dy.
	\end{equation*}
et la fonction $K$ étant appelée noyau de l'opérateur intégral $A$.\\
\end{definition}
%_______________________________________________________________________________________________________
\section{Classification Des \'{E}quation Intégrales}
Les équations intégrales sont classées par leurs caractéristiques selon trois caractéristiques de base décrient leur structure globale, il est utile de les citer avant d'entrer dans les détails.
%_______________________________________________________________________________________________________
\begin{enumerate}
	\item[\textbf{1.}]\textbf{limites d'intégration}\\
	Toute équation intégrale à limites constantes est appelée équation de Fredholm
	
	\begin{equation*}
		\lambda\varphi(x)-\int_{a}^{b}K(x,y,\varphi(y))=f(x) \qquad \qquad a\leq x \leq b.
	\end{equation*}
	
	Si l'un des deux limites d'intégration est variable, l'équation devient une équation de Volterra.\\
	\item[\textbf{2.}]\textbf{L'opérateur intégral T},\\
	L'équation définit par
	$$ T\varphi = f.$$
	est dite une équation de première espèce.\\
	Si l'équation est définit par
	$$ \varphi -T\varphi = f.$$
	Cette équation est dite une équation de deuxième espèce.\\
\textbf{C'est-à-dire}\\
Le type (espèce) d'une équation se rapporte à la localisation de la fonction inconnue.
Pour les équations de première espèce, la fonction inconnue apparaît uniquement à
l'intérieur du signe intégral. Cependant pour les équations de seconde espèce, la
fonction inconnue apparaît également à l'extérieur du signe intégral.
	\item[\textbf{3.}]\textbf{Le second membre de l'équation},\\
	Si $f=0$ l'équation est une équation homogène. Sinon cette équation est dite équation non-homogène.
\end{enumerate}
%_______________________________________________________________________________________________________
\subsection{Équations intégrales de Volterra }
%______________________________________________________________________________________________________

\begin{definition}
	On appelle équation intégrale de Volterra non linéaire de seconde espèce une équation de la forme
	
	\begin{equation*}
		\varphi(x)= f(x)+\lambda\int_{a}^{x}K(x,t,\varphi(t))dt.
	\end{equation*}
	
	o\`{u} $\varphi(x)$ est une fonction inconnue et $K(x,t)$ et $ f(x)$ sont des fonctions connues et $\lambda$ un paramètre réel.
	
	\begin{enumerate}
		\item[\textbf{1.}] Une équation de la forme
		
		\begin{equation*}
			\int_{a}^{x}K(x,t,\varphi(t))dt = f(x).
		\end{equation*}
		
		o\`{u} $\varphi(x)$ est une fonction inconnue est appelée équation intégrale de Volterra non linéaire de première espèce .
		\item[\textbf{2.}]	On appelle une équation intégrale linéaire de Volterra de seconde espèce une équation de la forme
		
		\begin{equation*}
			\varphi(x)= f(x)+\lambda\int_{a}^{x}K(x,t)\varphi(t)dt.
		\end{equation*}
		
		o\`{u} $\varphi(x)$ est une fonction inconnue et $ K(x,t)$ et $f(x)$ sont des fonctions connues et $\lambda$ un paramètre réel.
		\item[\textbf{3.}] Si  $f(x )=0$ l'équation s'écrit
		
		\begin{equation*}
			\varphi(x)= \lambda\int_{a}^{x}K(x,t)\varphi(t)dt.	
		\end{equation*}
		elle est appelée équation intégrale linéaire homogène de Volterra de seconde espèce.
		\item[\textbf{4.}] Une équation à une inconnue $\varphi(x)$, de la forme
		
		\begin{equation*}
			\int_{a}^{x}K(x,t)\varphi(t)dt = f(x).				
		\end{equation*}
		est appelée équation intégrale linéaire de Volterra de première espèce.
	\end{enumerate}
	\textbf{Exemples des Équations intégrales de Volterra }\\
	Équations intégrales linéaire non homogènes de Volterra de la seconde et première espèce
	
	\begin{equation*}
		u(x)=x^{2}+\sin x +1+\lambda\int_{0}^{x}(x^{2}-t)u(t)dt \qquad ; \qquad 0=x^{2}+1+\lambda\int_{0}^{x}(x^{2}-t)u(t)dt.
	\end{equation*}
	
	Équation intégrales linéaire homogènes de Volterra de la seconde et première espèce
	
	\begin{equation*}
		u(x)=\lambda\int_{0}^{x}(x^{2}-t)u(t)dt \qquad ; \qquad 0=\lambda\int_{0}^{x}(x^{2}-t)u(t)dt.
	\end{equation*}
\end{definition}
%_______________________________________________________________________________________________________
\subsection{Équations intégrales de Fredholm}
%______________________________________________________________________________________________________

\begin{definition}
	On appelle une équation intégrale de Fredholm non linéaire de seconde espèce une équation de la forme
	
	\begin{equation*}
		\varphi(x)-\lambda\int_{a}^{b}K(x,t,\varphi(t))dt = f(x).			
	\end{equation*}
	
	O\`{u} $\varphi(x)$ est une fonction inconnue et $K(x,t)$ et $ f(x)$ sont des fonctions connues et $\lambda$ un paramètre réel.\\\\
	Si $f(x)=0$ l'équation s'écrit
	
	\begin{equation*}
		\varphi(x)=\lambda \int_{a}^{b}K(x,t,\varphi(x))dt.
	\end{equation*}
	
	Elle est dite équation intégrale de Fredholm non linéaire de seconde espèce homogène, si dans le cas contraire. \\\\
	Si $f(x)\neq 0$ elle est dite équation intégrale de Fredholm non linéaire de seconde espèce non homogène.
	
	\begin{itemize}
		\item[\textbf{1.}] On appelle une équation intégrale linéaire de Fredholm de seconde espèce une équation de la forme
		
		\begin{equation*}
			\varphi(x)-\lambda\int_{a}^{b}K(x,t)\varphi(t)dt=f(x).
		\end{equation*}
		
		O\`{u} $\varphi(x)$ est une fonction inconnue et $K(x,t)$ et $f(x)$  sont des fonctions connue et $\lambda$ un paramètre réel.\\
		Si $f(x)=0$ et $\widetilde{K}(x,t)= \lambda K(x,t)$ l'équation s'écrit
		$$\varphi(x)=\int_{a}^{b}\widetilde{K}(x,t)\varphi(t)dt.$$
		Elle  est dite équation intégrale de Fredholm de seconde espèce homogène si dans le cas contraire $f(x)\neq 0 $ Elle est dite équation intégrale de Fredholm linéaire de seconde espèce non homogène.
		\item[\textbf{2.}] Une équation de la forme
		$$\int_{a}^{b}K(x,t)\varphi(t)dt=f(x).$$
		Est appelée équation intégrale linéaire de Fredholm de première espèce.
	\end{itemize}
\end{definition}
%______________________________________________________________________________________________________

\section{Exemples des Équation intégrales de Fredholm }
Équation intégrales linéaire non homogènes de Fredholm de la seconde et première espèce
$$u(x)=x^{2}+\sin x +1+\lambda\int_{-1}^{1}(x^{2}-t)u(t)dt \qquad;\qquad  0=x^{2}+\sin x +1+\lambda\int_{-1}^{1}(x^{2}-t)u(t)dt.$$
Équations intégrales linéaires homogène de Fredholm de la seconde et première espèce
$$u(x)=\lambda\int_{-1}^{1}(x^{2}-t)u(t)dt \qquad;\qquad 0=\lambda\int_{-1}^{1}(x^{2}-t)u(t)dt.$$
%_______________________________________________________________________________________________________
\subsection{\'Equation int\'egrale de Hammerstein :}
On appelle équation intégrale de Hammerstein, une équation de la forme:\\
%_______________________________________________________________________________________________________
\begin{equation}
u(x) = v(x) + \lambda \int_{\Omega} k(x ,y) f(y , u(y))dy , \qquad \lambda \in \mathbb{R}.
\end{equation}
%_______________________________________________________________________________________________________
avec des fonction donn\'ees $ v : \Omega \rightarrow \mathbb {R}, \  k : \Omega \times \Omega \rightarrow \mathbb{R} $ et $ f : \Omega \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ ou \ u : \Omega \rightarrow \mathbb{R} $ est la fonction inconnue.\\\par Pour plus de détails le lecteur peut consulter  les ouvrages\\
 voir\textbf{ $\cite{i14,i15,i16,i17,i18,i20}$}

%______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

\chapter{Existence De Solutions Continues Pour l'équation Int\'egrale Non Lin\'eaire De Fredholm Et Volterra}
	  %....................................................................................................................................................................................................
\hspace{-0.65cm}\textbf{Introduction}\\
\par Le but de ce chapitre consacré sur  l'application de
certaines théorèmes de point fixe (Le théorème du point fixe de Banach, Schauder, Leray-Schauder et de schaefer) sur les équations intégrales (celles de Volterra, et celles de Fredholm) à fin de prouver l'existence et l'unicité des solutions continues de ces équations. \\


\section{R\'esultats D'\'existence  Pour L'équation Int\'egrale  Non-Linéaire De Fredholm}

Notre premier résultat d'existence consacré à l'existence de solutions continues pour l'équation int\'egrale  non-Linéaire de Fredholm est donne par les th\'eorème suivant:
	 %--------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{thm}
On considère l'\'equation int\'egrale non lin\'eaire de Fredholm
		 %----------------------------------------------------------------------------------------------
		\begin{equation} \label{(2.1)}
		x(t) = f(t) + \int_{a}^{b} g(t, s ,x(s))ds  ,\qquad -\infty < a \leq t \leq b < +\infty.
		\end{equation}	\\
	 %----------------------------------------------------------------------------------------------	 
		
		O\`{u} $ f(\cdot) \in \textbf{C} ([a, b]) $, supposons que la fonction $ g(t,s,x) $ satisfait les conditions suivantes:
	 %----------------------------------------------------------------------------------------------	 
		\begin{equation}\label{(2.2)}
		\begin{cases}
		\textbf{sup} \left( |g(t,s,x)|,\left| \frac{\partial g}{\partial t}(t,s,x)\right| \right) \leq V_{1}(t) V_{2}(s)\phi (|x|)),\\
		\\
		 \left| \frac{\partial g}{\partial x} (t,s,x) \right| \leq V_{1}(t) V_{2}(s)\psi (|x|).
		\end{cases}
		\end{equation}
	 %----------------------------------------------------------------------------------------------	 
		\\
		O\`{u} $ V_{1} (\cdot)\in \textbf{C}([a,b]),\;V_{2} (\cdot)\in \textbf{L}^{1}([a,b]), \;\phi (\cdot) $ est positif et borné sur $ [0, +\infty[ $ et $ \psi (\cdot) $ est positive et born\'ee  sur $  [0 , +\infty[ $,\\
		sous les conditions ci-dessus, équation $ \eqref{(2.1)} $ a une solution dans $ \textbf{C}([a,b]). $
	\end{thm}
	 %.....................................................................................................................................................................................................
\hspace{-0.75cm}	\textbf{Preuve }\\
	Soit  l'op\'erateur $ T $  défini dans $ \textbf{C}([a,b]) $ par :
	 %..................................................................................................................................................................................................	 
		\begin{equation*}
			T x(t) = f(t) + \int_{a}^{b}g(t,s,x(s))ds .\\
		\end{equation*}
	 %..................................................................................................................................................................................................	 
La preuve du Th\'eoreme est donne en deux étapes.\\	
\textbf{Première étape:} \\
		 Nous prouvons que $ T : \textbf{C}([a,b]) \rightarrow\textbf{C}([a,b]) $ est continu. \\
		Nous montrons d'abord que $ T x(\cdot) \in \textbf{C}([a,b]) $ chaque fois que  $ x(\cdot) \in \textbf{C}([a,b]) $
		la suite $ (t_{n}) _{n} $ convergeant ver $ t, $ \\
		 puisque
		 %.............................................................................................................................................................................................
		\begin{equation}\label{(2.3)}
		|Tx(t_{n}) - Tx(t)|\leq|f(t_{n} -f(t)| + \int_{a}^{b}|g(t_{n},s,x(s)) - g(t,s,x(s))|ds.
		\end{equation}
		 %.............................................................................................................................................................................................
		et
		\begin{align*}
			|g(t_{n},s,x(s)) - g(t,s,x(s))| & \leq  |g(t_{n},s,x(s))| + |g(t,s,x(s))| \\
			& \leq  [V_{1}(t_{n}) + V_{1}(t)] v_{2}(s)\phi (|x(s)|) \\ & \leq  2\|V_{1}\|_{\infty}V_{2}(s) \displaystyle \sup_{u \geq 0} {|\phi(\mu)|} = 2 \|V_{1}\|_{\infty}V_{2}(s) M_{\phi} \in \textbf{L}^{1}([a,b]).
		\end{align*}	
	 %..................................................................................................................................................................................................	 
Puis  en utilisant la continuit\'e de $ g(t,s,x) $ et en appliquant le th\'eoreme de convergence domin\'e a $ \eqref{(2.3)} $ , on conclut que :
	 %..................................................................................................................................................................................................	 
\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow + \infty} \hspace{-0.1cm}\left| Tx(t_{n}) - Tx(t) \right|\hspace{-0.1cm} \leq\hspace{-0.1cm} \lim\limits_{n\rightarrow + \infty}\hspace{-0.1cm} \left| f(t_{n}) - f(t)\right|  +\hspace{-0.1cm} \int_{a}^{b}\hspace{-0.1cm}\lim\limits_{n\rightarrow + \infty}\hspace{-0.1cm}\left| g(t_{n},s ,x(s))- g(t,s,x(s)) \right)  = 0.
		\end{equation*}
	 %..................................................................................................................................................................................................	 
		Donc $ Tx(\cdot) \in \textbf{C}([a,b]) $. après  nous prouvons que l'op\'erateur $ T $ est continu sur $ \textbf{C}([a,b]) $. $ (x_{n})_{n}\in \textbf{C}([a,b]) $ une suite convergent uniform\'ement vers $ x (\cdot) $ puisque $ \textbf{C}([a,b]) $ est complet, alors $ x(\cdot) \in \textbf{C}([a,b]) $. ensuite, $ \forall t \in [a ,b] $ nous avons :
	 %..................................................................................................................................................................................................	 
		\begin{align*}
			|Tx_{n}(t) - Tx(t)| & \leq  \int_{a}^{b} |g(t,s,x_{n}(s)) - g(t,s,x(s)|ds \\
			& \leq  \int_{a}^{b}|x_{n}(s) - x(s)| \left| \frac{ \partial g}{ \partial x}(t,s,\theta_{s}x_{n}(s) + (1 - \theta_{s})x(s)\right| ds , \; \; \; 0 < \theta_{s} < 1\\
			& \leq  \|x_{n} - x \|_{\infty} \|V_{1\|_{\infty}} \int_{a}^{b}V_{2}(s)\psi(|\theta_{s}x_{n} (s) + (1 - \theta_{s})x(s)|) .
		\end{align*}	
	 %..................................................................................................................................................................................................	 
		Puisque $ x_{n}(\cdot) $ converge uniform\'ement ver $ x (\cdot) \in \textbf{C}([a,b]) $. alors $ \forall s \in [a  ,b] $,\\
		  $ |\theta_{s}x_{n}(s) + (1 - \theta_{s}) x(s)| $ est continu dans un ensemble compact  $ K $ de $ [0 , + \infty [$. \\
		de plus, puisque $ \psi(.) $ est continu sur $ [0 , + \infty[$. alors il existe une constante $ M_{\psi} $ telle que $ \forall _{n}\in \mathbb{N} $ et $ \forall s \in [0,1] $ sont combine\'es pour combine les deux in\'egalit\'es pr\'ec\'edentes,  en conclut  que .
	 %..................................................................................................................................................................................................	 
\begin{equation*}
			\| Tx_{n} - Tx\|_{\infty}\leq \|x_{n} - x\|_{\infty}\| V_{1}\|_{\infty} \|V_{2}\|_{1} M_{\psi}.
		\end{equation*}
	 %..................................................................................................................................................................................................
	\newpage	
		\hspace{-0.65cm}\textbf{Deuxième étape } :\\
		 Nous prouvons que $ T $ a un point fixe dans $ C([a, b]) $ en appliquant le théorème de point fixe de Schaefer, nous prouvons d'abord que $ T $ est totalement bornée par le théorème d'Ascoli Arzela, il suffit de prouver que $ F = \left\lbrace Tx_{n} ; n \in \mathbb{N} \right\rbrace $ est équicontinu et borné chaque suite uniformément bornée  $ (x_{n})_{n} $ de $C([a, b]). $
	 %..................................................................................................................................................................................................	 
\begin{align*}
			&|Tx_{n}(t) - Tx_{n}(\tau) |= \left|  f(t) - f(\tau) +\int_{a}^{b} g(t,s,x_{n}(s)) -g(\tau,s,x_{n}(s))\right| ds\\
			& \leq |f(t)- f( \tau)|+ \int_{a}^{b}|(t - \tau)|\left|  \frac{\partial g}{\partial t}(t+\theta_{t}(\tau - t),s ,x_{n}(s))\right|ds \qquad 0 < \theta_{t} < 1 \\
			& \leq |f(t)- f( \tau)| + |t - \tau | \| V_{1} \|_{\infty} \|V_{2} \|_{1} M'_{\psi},
		\end{align*}
	 %..................................................................................................................................................................................................	 
Alors $ F $ est équicontinu, de plus il est clair  que $ F $ est borné si $ (x_{n})_{n} $ est bornée, donc $ F $ est totalement borné et par conséquent, $ T $ est totalement borné sur $ C ([a,b]) $. comme on a déjà montrer que $ T $ est continue, on conclut que $ T $ est complètement continue sur  $ C([a,b]) $. enfin, définissant l'ensemble $ \varepsilon $ par
 $$ \varepsilon = \left\lbrace  x \in C([a,b]),\; \exists \lambda \in ]0 ,1[ ;\; x = \lambda Tx \right\rbrace,  $$
 on prouve que $\varepsilon $ est bornée, soit $ u(\cdot)\in \varepsilon $ alors $\forall t\in [a,b]$, on a
	 %..................................................................................................................................................................................................	 
\begin{align*}
			| u(t)|  & =  |\lambda Tu(t)| \leq \|f\|_{\infty} + \int_{a}^{b} |g(t, s, u(s))|ds \leq \|f\|_{\infty} + \|V_{1}\|_{\infty} \| V_{2}\|_{1} sup|\phi(y)|\\
			& \leq  \|f\|_{\infty} + \|V_{1}\|_{\infty} \|V_{2}\|_{1} M'_{\phi} .
\end{align*}
	 %..................................................................................................................................................................................................	 
Donc, l'ensemble $ \varepsilon  $ est borné, enfin, en appliquant le théorème de point fixe de Schaefer, on conclut que $ T $ a un point fixe dans  $ C ([a,b]) $,  Par conséquent $ \eqref{(2.1)} $ a une solution continue sur $ [a,b]$.\\

  En utilisant une nouvelle norme $ \| X \|_{\mu} $ et le théorème du point fixe de Schauder, Nous obtenons un résultat plus générale du $\textbf{Théorème \ref{(2.1)}}$ à l'équation intégrale non linéaire de Fredholm  avec des conditions plus faibles. C'est le sujet du prochain théorème.
%..................................................................................................................................................................................................	 
	\begin{thm} \label{t3.2}
On considère l'\'equation int\'egrale non lin\'eaire de Fredholm :
	 %----------------------------------------------------------------------------------------------	 
\begin{equation}\label{f2.4}
		x(t) = f(t) + \int_{a}^{b} g(t, s , x(s))ds  , \qquad -\infty < a \leq t \leq b < +\infty.
\end{equation}
	 %----------------------------------------------------------------------------------------------	 
Supposant que $ f(\cdot) $ est une fonction born\'e et $ g(t,s,x) $ satisfait les conditions suivantes :
	 %----------------------------------------------------------------------------------------------	 
		\begin{equation}\label{f2.5}
		\left| g(t,s,x) \right|\leq V_{1}(t) V_{2}(s) \phi (|x|)) ,\qquad \left| \frac{\partial g}{\partial x } (t , s , x)\right| \leq V_{1}(t) V_{2}(s) \psi (|x|).
		\end{equation}
	 %----------------------------------------------------------------------------------------------	 
O\`{u} $ V_{1}(\cdot) $ est une fonction positive, born\'ee et mesurable, $ \phi(.) $ est une fonction positive et mesurable qui v\'erifier la condition :
	 %----------------------------------------------------------------------------------------------	 
		\begin{equation}\label{f2.6}
		\displaystyle \sup_{x \geq 0}\frac{\phi(x)}{x} = L < +\infty,
		\end{equation}\\
	 %---------------------------------------------------------------------------------------------	 
et $ \psi(\cdot) $ est une fonction continue et positive sur $ [0 , +\infty[$. De plus, on suppose qu'il existe une fonction strictement positive et continue $ \mu(\cdot) $ qui v\'erifie la condition suivante:
	 %----------------------------------------------------------------------------------------------	 
		\begin{equation}\label{f2.7}
		\left\|  V_{1}.\mu\right\| _{\infty} \left\| \frac{V_{2}}{\mu} \right\| _{1}< \dfrac{1}{L},
		\end{equation}
	 %----------------------------------------------------------------------------------------------	 
sous ces conditions, l'\'equation int\'egrale non lin\'eaire $ \eqref{f2.4} $ admet une solution dans $ \textbf{C}([a,b]). $\\\\
	 %---------------------------------------------------------------------------------------------
		\textbf{ Preuve} \\
		Nous vérifions tout d'abord que la fonction $ \|\cdot\|_{\mu} $ définie sur $ X = C([a,b]) $ par \\
		$\| X \|_{\mu} = sup_{t\in [a,b]}|\mu(t)x(t)|$
		est une norme sur $ X $. Ensuite  $ r\geq 0 $ soit un nombre réel positif qui sera fixé ultérieurement et définissant  le sous-ensemble $ B_{r} $ de $ X $ par
		
		$$B_{r} = \left\lbrace x\in C([a,b])  ;\;  \parallel x \parallel_{\mu}\leq r\right\rbrace, $$
		il est clair que $ B_{r} $ est un sous-ensemble fermé et convexe de $ X $. Soit  $ T $ l'opérateur défini sur $ B_{r} $ par
		$$Tx(t) = f(t) + \int_{a}^{b}g(t,s,x(t))ds,$$
		
		
		il est facile de vérifier que $ T $ transforme des ensembles bornés de $ B_{r} $  à des ensembles relativement compacts. par le Théorème du point fixe de \textbf{Schauder}, pour prouver l'existence d'une solution de $ \eqref{f2.4} $, il suffit de vérifier que $ T \in C(B_{r},B_{r}) $. nous prouvons d'abord que $ Tx(\cdot)\in C([a,b]) $ chaque fois que $ x(\cdot)\in C([a,b]) $. Soit $ (t_{n})_{n} $ une suite dans $ [a,b] $ convergeant vers $ t $.Comme $ f(\cdot)\in C([a,b]) $ et puisque pour tout $ n\in \mathbb{N} $, on a
%..........................................................................................................................................................................................................	 
		\begin{equation}\label{v 2.15}
		|g(t_{n},s,x(s))|\leq V_{1}(t_{n})V_{2}(s)M_{\phi,|x|}\leq \| V_{1}\|_{\infty}M_{\phi,|x|}V_{2}(s)\in L^{1}([a,b]),
		\end{equation}
%......................................................................................................................................................................................................		 
		
		où $ M_{\phi,|x|} $ est une constante ne dépend pas  de $ \phi(\cdot) $ et $ |x(\cdot) | $, puis en appliquant le théorème de \textbf{convergence dominé}, on conclut que
%......................................................................................................................................................................................................		 
		\begin{equation} \label{v 2.16}
		\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} Tx(t_{n}) = \lim\limits_{n\rightarrow + \infty}f(t_{n}) + \int_{a}^{b} \lim\limits_{n\rightarrow + \infty} g(t_{n},s,x(s))ds = f(t) + \int_{a}^{b}g(t,s,x(s))ds.
		\end{equation}
%......................................................................................................................................................................................................		 
		Par conséquent, $ Tx(\cdot)\in C([a,b]) $. Suivant, nous prouvons que $ T $ est continu sur $ B_{r} $ p.p. Soit $ (x_{n})_{n} $ une suite de $ B_{r} $ converge vers $ x $ avec la norme $ \|\cdot\|_{\mu} $. puisque $ (B_{r},\| \cdot\|_{\mu}) $ est complet alors $ x\in B_{r} $. de plus, nous avons
%.....................................................................................................................................................................................................		 
		\begin{align} \label{v 2.17}
			&\| Tx_{n} - Tx\|_{\mu} \nonumber
			\\
		&= \displaystyle \sup_{t\in[a,b]}\left| \mu(t)\int_{a}^{b}(g(t,s,x_{n}(s)) - g(t,s,x(s))ds\right|  \nonumber \\
			& \leq  \| \mu \|_{\infty} \int_{a}^{b}|x_{n}(s) - x(s)|\left| \frac{\partial g}{\partial x} (t,s,\theta_{s}x_{n}(s) + (1 - \theta_{s})x(s)ds\right| , \qquad \theta_{s} \in ]0,1[ \nonumber \\
			& \leq  \| \mu \|_{\infty} \int_{a}^{b}V_{1}(t)\mu(s)|x_{n}(s) - x(s)|\dfrac{V_{2}(s)}{\mu(s)} \psi(|\theta_{s}x_{n}(s) + (1 - \theta_{s})x(s)|) ds , \qquad \theta_{s}\in]0,1[\nonumber\\
			& \leq  \| \mu \|_{\infty} sup_{s \in [0,1]} \psi(|\theta_{s}x_{n}(s) + (1 - \theta_{s})x(s)|)\| x_{n} - x \|_{\mu} \left\| \frac{V_{2}}{\mu}\right\| _{1}.
		\end{align}
%......................................................................................................................................................................................................		 
		Étant donné que $ \mu (\cdot) $ est continue et bornée  par zéro, il est clair que la convergence de $ (X_{n})_{n} $  vers $ x $ dans la norme $ \|\cdot\| _{\mu} $ implique également la convergence uniforme sur $ [a,b] $. Par conséquent, pour tout $ n \in \N, \forall s \in [0,1] $, en conclut que \\
		$ |\theta_{s}x_{n}(s) + (1-\theta_{s}) x(s)| $ est contenu  dans un ensemble compact de $ [0.\infty[ $. De plus, puisque $ \psi (\cdot) $ est continue sur $ [0,\infty] $,  en conclut qu'il existe une constante positive $ M_{\psi} $  telle que
		$$ \psi (|\theta_{s}x_{n}(s) + (1 - \theta_{s})x(s)|) \leq M _{\psi} ,\forall s \in [0,1] , \forall n \in \N .$$
		Par conséquent, l'inégalité précédente devient
		$$\| Tx_{n} - Tx \|_{\mu} \leq \| \mu \| _{\infty} M_{\psi} \| V_{2}/ \mu \|_{1} \| x_{n} - x\|_{\mu}. $$
		 Par conséquent, $ T $ est continu sur $ B_{r} $. Il reste à choisir le nombre réel positif $ r $ de telle manière que $ T(B_{r})\subset B_{r} $. Soit $  x \in B_{r} $, alors nous avons
%......................................................................................................................................................................................................		 
		\begin{align}\label{v 2.18}
		\| Tx \|_{\mu} &\leq \| \mu(t)f(t) \|_{\infty} + \left\|  \mu(t)V_{1}(t) \int_{a}^{b} V_{2}(s)\phi(|x(s)|)ds \right\| _{\infty}, \nonumber \\
		& \leq  \| f \|_{\mu} + \| V_{1} \|_{\mu} \left| \int_{a}^{b} \frac{V_{2}(s)}{\mu(s)}\mu(s)|x(s)| \frac{\phi(|x(s)|)}{|x(s)|}ds\right|,  \\
		& \leq  \| f \|_{\mu} + \| V_{1} \|_{\mu} rL \left\|  \frac{V_{2}}{\mu} \right\|_{1} \leq \| f \|_{\mu} + r\left( L\| V_{1}\|_{\mu}\left\|  \frac{V_{2}}{\mu}\right\| _{1}\right). \nonumber
		\end{align}
%......................................................................................................................................................................................................		 
		Par conséquent, la condition $ T(B_{r}) \subset B_{r} $ est satisfaite pour tout nombre réel positif r satisfaisant
\begin{equation}\label{v 2.19}
		r \geq \displaystyle\frac{\| f \|_{\mu}}{1-L\| V_{1}\|_{\mu}\| V_{2}\diagup \mu\|_{1}} = r_{0}.
		\end{equation}
Par le théorème du point fixe de \textbf{Schauder}, on conclut que $ T $ a un point fixe dans $ B_{r} $ pour tout $ r \geq r_{0}. $
\end{thm}
		
			 %..................................................................................................................................................................................................	 
		\begin{example} : \textbf{Considérons l'\'equation int\'egrale non lin\'eaire de Fredholm suivante:}
	 %------------------------------------------------------------------------------------------		 
			\begin{equation}\label{(2.8)}
			x(t) = f(t) + \int_{0}^{1}((t + \alpha)(s + \beta) ln(1 + x^{2}(s))ds , \qquad 0 \leq t \leq 1.
			\end{equation}
	 %------------------------------------------------------------------------------------------		 
			O\`{u} $ f\in \textbf{C}([0,1]) $, $ \alpha $  et $ \beta $ sont deux paramètres satisfaisant $ 0\leq \alpha \leq 1 $ et $ \beta \geq 0 $. En utilisant la notation du   $\textbf{Théorème \ref{t3.2}}$, on obtient \\
			$ V_{1}(t) = t + \alpha , \;V_{2}(s) = s + \beta , \;\phi(x) = ln(1 + x^{2}) $
			et $ \psi(x) = \frac{2x}{1 + x^{2}} $ il est clair que $ \phi(\cdot) $ \\
			satisfait la condition $\eqref{f2.6}$  avec $ L = 1 $ et que $ \psi(\cdot) $ est une fonction continue et positive sur $ [ 0 , +\infty ] $. \\
			ensuite, consid\'erons la fonction $ \mu(t) = e^{-t} ,\; t \in [0,1] $. Dans ce cas, il est facile de vérifier que
	 %------------------------------------------------------------------------------------------		 
			\begin{equation*}			
				\|V_{1}\|_{\mu}\left\| \frac{V_{2}}{\mu}\right\|_{1} = e^{\alpha - 1}[B(e -1) + 1].
			\end{equation*}
	 %------------------------------------------------------------------------------------------		 
Ainsi, par le th\'eoreme pr\'ec\'edent, on conclut que  $ \eqref{(2.8)} $ a une solution continue chaque fois que les paramètres $ \alpha , \beta $ satisfont  la condition
	 %----------------------------------------------------------------------------------------		 
			\begin{equation*}
				e^{\alpha - 1}[B(e - 1) + 1] < \frac{1}{L} = 1.
			\end{equation*}		
		\end{example}	
										
	 %...................................................................................................................................................................................................
	\section{Résultats D'existence Et D'unicité Pour L'équation Intégrale Non Linéaire De Volterra }
	
%______________________________________________________________________________________________________	 
	
	
Si dans l'équation intégrale de \textbf{Fredholm} $ \eqref{(2.1)} $, nous remplaçons l'intégration liée à $b$ par la variable $t$, nous obtenons une équation non linéaire de \textbf{Volterra}.
	
	
%..........................................................................................................................................................................................................	 Notre deuxième resultat  d'existence consacre l'existence de solutions continues pour l'équation int\'egrale  Non-Linéaire de Volterra est donne par les th\'eorème suivants::
	\begin{thm}
		Considérons l'équation intégrale non linéaire de Volterra
%----------------------------------------------------------------------------------------------		 
		\begin{equation}\label{v 3.1}
		x(t) = f(t) + \int_{a}^{t}g(t,s,x(s))ds, \qquad -\infty < a \leq t \leq b < +\infty ,
		\end{equation}
%______________________________________________________________________________________________________		 
où $ f $ est continue sur $ [a,b] $. supposons que $ g(t,s,x) $ vérifier les conditions suivantes:
%______________________________________________________________________________________________________		 
		\begin{equation}\label{v 3.2}
		|g(t,s,x)|\leq V_{1}(t)V_{2}(s)\phi(|x|) ,\qquad \left| \frac{\partial g}{\partial x}(t,s,x)\right| \leq V_{1}(t)V_{2}(s) \psi(|x|) ,
		\end{equation}
%______________________________________________________________________________________________________		 
		où $ V_{1} \in C([a,b]) $ et positif, $ V_{2}(\cdot)\in L^{1}([a,b]) $ et positif et où $ \psi (\cdot) $ est une fonction positive et continue sur $ [0,+\infty[ $. finalement, nous supposons que la fonction $ \phi(\cdot) $ est positive, continue et satisfait la condition
		$$ \lim\limits_{y\rightarrow +\infty}(\phi(y)\diagup y) = L < +\infty, $$
		dans les conditions ci-dessus, $ \eqref{v 3.1} $ a une solution continue sur $ [a,b] $.\\
%______________________________________________________________________________________________________		 
		\textbf{ Preuve } \\
		Soit $ X = (C([a,b]) , \parallel\cdot\parallel_{\infty}) $ indique l'espace de Banach des fonctions continues sur $ [a,b] $ et définit l'opérateur $ T $  sur $ X $ par
%_____________________________________________________________________________________________________		 
		\begin{equation*}
			Tx(t) = f(t) + \int_{a}^{t}g(t,s,x(s))ds,
		\end{equation*}
%______________________________________________________________________________________________________		 
		en utilisant les conditions du théorème, il est facile de vérifier que $ TX \subset X $ \\
		et $ T $ est compact. De principe de  Leray-Schauder, pour prouver le résultat du théorème, il suffit de prouver que $ T $ est continu sur $ X $ et toute solution de\\
		 $ x = \lambda Tx ,\; 0 \leq \lambda \leq 1 $ est limitée par la même constante $ M > 0 $. Pour prouver la continuité de $ T $ \\
		sur $ C([a,b]) $, il suffit de remplacer $ \mu(t) $ par $ 1 $ dans la preuve de la continuité de l'opérateur $ T $ du théorème précédent et de suivre les différentes étapes de cette preuve. Ensuite, nous notons que la condition \\
		
		
		$$ \lim\limits_{y\rightarrow +\infty}(\phi(y)/y) = L < +\infty,$$
		
		
		implique l'existence d'un nombre réel positif $ A > 0 $ tel que $ |\phi(u)| \leq (3/2)L = L' $, pour tous $ u \geq A $ soit $ x \in C([a,b]) $ une solution de $ x = \lambda Tx $, pour certains $ 0 \leq \lambda \leq 1 $, alors nous avons
%______________________________________________________________________________________________________		 
		\begin{align}\label{v 3.3}
		|x(t)| & \leq |\lambda||f(t)| + |\lambda|\int_{a}^{t}|g(t,s,x(s))ds| \leq \| f \|_{\infty} + \int_{a}^{t}V_{1}(t)V_{2}(s) \phi(|x(s))|)ds \nonumber \\
		& \leq \| f \|_{\infty} + \|V_{1} \|_{\infty}  \int_{a}^{b}V_{2}(s)  sup_{u \in [0,A]} \phi (u)ds  + \| V_{1}\|_{\infty}   \int_{a}^{b} V_{2}(s) L' |x(s)| ds \nonumber \\
		& \leq  \left[ \| f \|_{\infty} + sup_{u \in[0.A]} \phi(u) \| V_{2} \|_{1}\right]  + \int_{a}^{b} ( L' \| V_{1}\|_{\infty} V_{2}(s)) |x(s)| ds  \\
		& \leq  M_{1} + \int_{a}^{b} M_{2} V_{2}(s)|x(s)|\nonumber ds .
		\end{align}
%______________________________________________________________________________________________________		 
		En utilisant la version générale de l'inégalité de \textbf{Gronwall} avec l'inégalité précédente, on conclut que
%______________________________________________________________________________________________________		 
		\begin{equation*}
			|x(t)|\leq M_{1}\exp (M_{2}\parallel V_{2}\parallel_{1}) = M .
		\end{equation*}
%______________________________________________________________________________________________________		 
		puisque $ M_{1} $ et $ M_{2} $ ne dépendent pas de la solution $ x $,  on en conclut que les solutions de $ x = \lambda Tx,\; 0\leq \lambda\leq 1 $ sont uniformément limitées par la même constante $ M $. Enfin, en utilisant la principe de Leray-Schauder, on conclut que $ T $ a un point fixe dans $ X = C([a,b]) $ ou de manière équivalente, l'équation non linéaire de Volterra $ \eqref{v 3.1} $ a une solution continue sur $ [a,b] $.
	\end{thm}



Le théorème suivant donne un résultat d'existence et d'unicité de solutions continues consacré à l'équation int\'egrale  non-linéaire de Volterra, la preuve est basé sur le théorème de point fixe de Banach.
\begin{thm}
		Soit $K :[0,T]\times[0,T]\times\R\rightarrow \R $, est une fonction continue satisfait la condition de Lipschitz suivant : \\
		$$ |K(x,t,u)-K(x,t,v)|\leq L|u-v|,$$\\
		pour tout : $(x,t)\in[0,T]\times[0,T]$, et $u,v\in \R$. Alors pour tout $f\in C[0,T]$  l'équation int\'egrale  non-linéaire de Volterra suivante:
%__________________________________________________________________________________		 
		\begin{equation}\label{eq4.5}
		\varphi(x)=f(x)+\int_{0}^{x}K(x,t,\varphi(t))dt \qquad 0\leq x \leq T,
		\end{equation}
%__________________________________________________________________________________		 
admet une solution unique $\varphi \in C[0,T]$. 
\\\\
{\large\textbf{{preuve:}}}\\
 Soit $E$  l'espace de Banach de $C[0,T]$ muni de la norme \\
$$|g|=\max_{0\leq x \leq T}|g(x)| exp(-Lx),$$\\
cette norme est équivalente à la norme sup $\|y\|$. En effet\\
$$ exp(-Lx)\|y\|\leq|y|\leq\|y\|,$$\\
de plus, l'espace $(E,|\cdot|)$ est aussi complet.\\
On définit $F:E\rightarrow E$ par\\
$$F(\varphi)(x)=f(x)+\int_{0}^{x}K(x,t,\varphi(t))dt.$$
A fin de prouver que l'équation $\eqref{eq4.5}$ admet une solution, il faut montrer que\\ $F:E\rightarrow E$ admet un point fixe.\\
On montre que $F$ est contractante.
\begin{align*}
	|F(\varphi_{1})-F(\varphi_{2})|&\leq\max_{0\leq x \leq T} exp(-Lx)\int_{0}^{x}\left| K(x,t,\varphi_{1}(t))-K(x,t,\varphi_{2}(t))\right| dt \\
	& \leq L\max_{0\leq x \leq T} exp(-Lx)\int_{0}^{x}\left| \varphi_{1}(t)-\varphi_{2}(t)\right|dt\\
	&\leq L\max_{0\leq x \leq T} exp(-Lx)\int_{0}^{x} exp(Lt)exp(-Lt)\left|  \varphi_{1}(t)-\varphi_{2}(t)\right|dt\\
	&\leq L\left|\varphi_{1}(t)-\varphi_{2}(t)\right|\max_{0\leq x \leq T} exp(-Lx)\int_{0}^{x} exp(Lt)dt\\
	&= L\left|\varphi_{1}(t)-\varphi_{2}(t)\right|\max_{0\leq x \leq T} exp(-Lx)\dfrac{exp(Lx)-1}{L}\\
	&\leq\left( 1-exp(-Lx)\right) \left|\varphi_{1}-\varphi_{2}\right|.
\end{align*}
Puisque $(1-exp(-Lx))\leq 1$, alors $F$ est contractante, d'après le principe de Banach $F$ admet un point fixe unique $\varphi.$		
	\end{thm}





%___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
	\chapter{$ L_{p,\mu}$-Solutions De l'équation Intégrale Non linéaire De Hammerstein Sur Un Intervalle Non Borné }
%______________________________________________________________________________________________________	 
\hspace{-0.65cm}\textbf{Introduction}\\
\par Le but de ce chapitre est étudier l'existence des solutions de l'équation intégrale non linéaire de Hammerstein sur un domaine non borné $ \R_+ $ dans l'espace pondéré $L_{p,\mu}$ sous des différentes conditions. l'outil de base dans la preuve d'existence est le théorème de point fixe de Schauder.\\
	
	Soit $ \mu(\cdot) $ une fonction mesurable positive arbitraire sur $ \R_+ $, considérons l'espace pondéré  $ L^p(\R_+,d\mu) $ espace de toutes les fonctions mesurables $ x $ satisfaisant les conditions suivantes:\\
	$$ \int_{\R_+}|x(t)|^p\mu (t)dt<\infty. $$
	Il est bien connu que la fonctionnelle $ \parallel\cdot\parallel_{p,\mu} $
	définie sur $ L_{p,\mu} = L^p(\R_+,d\mu) $ par \\
	$$ \parallel x \parallel_{p,\mu} = \left( \int_{\R_+}|x(t)|^p \mu(t)dt\right)^\frac{1}{p}, $$\\
	est une norme, de plus l'espace $ L_{p,\mu} $ est un espace de Banach.\\
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\section{Résultats D'existence Des Solutions De  L'équation Intégrale Non Linéaire De Hammerstein}
Le but de cette section est donner résultat d'existence de l'équation intégrale non linéaire de Hammerstein sur un domaine non borné $ \R_+ $ défini par:
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\begin{equation}\label{H1.1}
	x(t) = g(t) + \int_{0}^{+\infty}k(t,s)f(s,x(s))ds.
	\end{equation}

On considère la fonction $ \mu(\cdot) $ à valeurs positive continue sur $ \R_+ $ et il exixte $a\geq 0$ elle  satisfait la condition suivante:\\
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\begin{equation}\label{H1.1}
	\delta\rightarrow \displaystyle {\sup_{t\geq 0}}\frac {\mu(t)}{\mu(t + \delta)} , \delta\geq 0,
	\end{equation}
%______________________________________________________________________________________________________	 
	est bornée au voisinage de $ 0 $.\\
	Notre résultat d'existence pour l'équation intégrale  de Hammerstein $ \eqref{H1.1} $  est donnée par les théorèmes suivants:\\
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\begin{thm}
		Soit $ p\geq 1 ,\;  q\geq 1 $ deux nombres réels positifs satisfaisant $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ supposons les hypothèses suivantes, soit $ A\geq a$ et définissons la fonction $ \varphi_A(\cdot) $ par
%______________________________________________________________________________________________________		 
		\begin{equation}
		\varphi_A(s) = \int_{A}^{+\infty}|k(t,s)|\mu(t)dt.
		\end{equation}
%______________________________________________________________________________________________________	
\newpage	 
		Supposons que $ g(\cdot)\in L_{p,\mu} ,\; k(t,s)\mu(t) $ est bornée et continue sur $ \R^
		2_+ $, de plus, supposons que \\
%_______________________________________________________________________________________________________		 
		\begin{itemize}
			\item[(i)] la fonction $ (t,x)\rightarrow f(t,x) $ est de type Caratheodory.\\
			\item[(ii)] Il exit $ C > 0 $ et $ h\in L_{p,\mu} $ tel que $ |f(s,x)|\leq h(s)+c|x| $ p.p $ s\geq 0 .$\\
			\item[(iii)] $ \displaystyle\lim_{A\rightarrow +\infty} \parallel \varphi_A\parallel_\infty = 0 .$\\
			\item[(iv)]\label{iv} $ \displaystyle\int_{\R_+}|k(t,s)|\mu(t)dt = \varphi_0(s)\leq \alpha_1 $ , pour p.p $ s\geq 0 $ et $ \displaystyle\sup_{s\geq A} $ $ \varphi_0(s)\rightarrow 0. $\\
			\item[(v)] $ \displaystyle\int_{\R_+}k(t,s)[\mu(s)]^{-\frac{q}{p}}ds\leq \alpha_2 $ ,  pour $ t\geq 0 $ p.p.\\
			\item[(vi)] $ \displaystyle c\alpha_1^\frac{1}{p}\alpha_2^\frac{1}{q} < 1 .$\\
		\end{itemize}
%______________________________________________________________________________________________________		 
Sous les hypothèses ci-dessus, l'équation $ \eqref{H1.1} $  admet au moins une solution $ x\in L_{p,\mu}. $
	\end{thm}
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\hspace{-0.65cm}\textbf{{preuve:}}\\
	Soit T un opérateur définit sur $ L_{p,\mu} $ par \\
	$$ Tx(t) = g(t) + \int_{\R_+}k(t,s)f(s,x(s))ds. $$
	La preuve de ce théorème est faite comme suit:\\
	On prouve d'abord qu'il existe une boule fermé $ B_R $ dans $ L_{p,\mu} $ tel que \\$ T(B_R)\subset B_R $, avec $\|x\|\leq R$
	on vérifie d'abord que $ T(L_{p,\mu})\subset L_{p,\mu}$ en utilisant (ii) , on obtient
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\begin{align*}
		\|Tx \|_{p,\mu}
		& \leq  \| g\|_{p,\mu} + \left[\int_{\R_+} \left[ \int_{\R_+}|K(t,s)||c|x(s)| + h(s)|ds \right]^{p}\mu(t)dt\right] ^{\frac{1}{p}}\\
		&\leq  \|g\|_{p,\mu} +\hspace{-0.1cm} \left[\int_{\R_+}\hspace{-0.1cm}\left[ \int_{\R_+}\hspace{-0.2cm}|k(t,s)|^{\frac{1}{q}}[\mu(s)]^{-\frac{1}{p}}[|k(t,s)|\mu(s)]^{\frac{1}{p}}|c|x(s)| +\hspace{-0.1cm}  h(s)|ds\right]^{p}\hspace{-0.2cm}\mu(t)dt\right]^{\frac{1}{p}}, \\
	\end{align*}
%______________________________________________________________________________________________________	 
	comme $k(\cdot,\cdot )$ est bornée, alors la fonction $
	[|k(t,s)|\mu(s)]^\frac{1}{p}|c|x(s) + h(s)| $ appartient à $ L_{p} $ alors par l'inégalité de \textbf{Hölder} et le théorème de \textbf{Fubini} on obtient les inégalités suivantes: \\
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\begin{align*}
		\|Tx\|_{p,\mu} & \leq  \|g\|_{p,\mu} +  \alpha_2^\frac{1}{q} \left[ \int_{\R_+}\left[ (c|x(s)| + h(s))^p\left(\int_{\R_+}|k(t,s)|\mu(t)dt\right) \right] \mu(s)ds\right]^\frac{1}{p}\\
		& \leq  \|g\|_{p,\mu}+\alpha_2^\frac{1}{q}\alpha_1^\frac{1}{p}\left[ c\| x \|_{p,\mu} +\|h\|_{p,\mu}\right].
	\end{align*}
%______________________________________________________________________________________________________	 
	Donc, l'opérateur $ T $ transforme $ L_{p,\mu} $ dans lui même, de plus il est clair que si \\\\
	$ R\geq R_0 = \dfrac{\|g\|_{p,\mu} + \alpha_2^\frac{1}{q}\alpha_1^\frac{1}{p}\|h\|_{p,\mu}}{1 - c\alpha_1^\frac{1}{p}\alpha_2^\frac{1}{q}}, $\\\\
	alors $ T(B_R)\subset B_R $, o\`{u} $ B_R $ une boule  fermé de $L_{p,\mu} $ de centre $ 0 $ et rayon $ R $, pour prouver que $ T $ a un point fixe dans $ L_{p,\mu} $, on utilise le théorème de point fixe de Schauder. Donc on a besoin de prouver que $ T $ est continu et compact, pour prouver que $ T $ est compact, on considère d'abord l'ensemble $ X $ uniformément borné de $ L_{p,\mu} $ (i,e il existe $ M > 0 $  tel que $ \|x\|_{p,\mu}\leq M,\;\forall x\in M).  $ \\
	Soit $ A > a $ alors par un  calcul simple nous montrons que:
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\begin{align*}
		\left[\int_{A}^{+\infty}|Tx(t)|^{p}\mu(t)dt\right]^\frac{1}{p}
		&\leq \left[ \int_{A}^{+\infty} |g(t)|^{p}\mu(t)dt\right]^\frac{1}{p}\\
		& +  \alpha_2^\frac{1}{q}\left[ \int_{0}^{+\infty}\mu(s)(c|x(s)| + h(s))^p .\left( \int_{A}^{+\infty}\mu(t)|k(t,s)|dt\right) ds \right]^\frac{1}{p}\\
		&\leq  \alpha_{2}^\frac{1}{q}\|\varphi_A\|_\infty^\frac{1}{p}\left[ c\|x\|{_p,\mu} + \|h\|_{p,\mu}\right] +  \left[ \int_{A}^{+\infty}|g(t)|^p\mu(t)dt\right]^\frac{1}{p}.
	\end{align*}
%______________________________________________________________________________________________________	 
	Comme
	$$ \displaystyle \lim_{A\rightarrow +\infty}\|\varphi_A\|_\infty = 0 \; et \; t\mapsto|g(t)|^p\mu(t)\in L^1([0,\infty[) .$$
	Alors
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\begin{equation}
	\displaystyle\lim_{A\rightarrow +\infty}\int_{A}^{+\infty}|Tx(t)|^p\mu(t)dt = 0.
	\end{equation}
%______________________________________________________________________________________________________	 
	Maintenant, soit $ \delta > 0 $ et soit
$$ T_{k}x(t)=\int_{0}^{+\infty}f(s,x(s))ds ,$$
	alors
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\begin{align*}
		\left[\hspace{-0.1cm}\int_{0}^{+\infty}\hspace{-0.2cm}|Tx(t + \delta) - Tx(t)|^p\mu(t)dt\right]^\frac{1}{p} & \hspace{-0.1cm}=\hspace{-0.1cm} \left[ \int_{0}^{+\infty}\hspace{-0.1cm}|g(t,s) - g(t) + T_{k}x(t + \delta) - T_{k}x(t)|^p \mu(t)dt\right]^\frac{1}{p}\\ & \leq  \|g(t + \delta) + g(t)\|_{p,\mu} + \|T_{k}x(t + \delta) - T_{k}x(t)\|_{p,\mu},\\
	\end{align*}
%______________________________________________________________________________________________________	 
comme $ g(\cdot)\in L_{p,\mu} $, alors
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\begin{equation}
	\displaystyle\lim_{\delta\rightarrow 0}\|g(t + \delta) - g(t)\|_{p,\mu}^p = 0.
	\end{equation}
%______________________________________________________________________________________________________	 
	Ensuite, il est facile de voir que, $ \forall A\geq \delta $, o\`{u} $\delta$ est donnée par $ \eqref{H1.1} $, on a \\
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\begin{align*}
		&\|T_kx(t + \delta) - T_kx(t)\|_{p,\mu}^p\\ 
		&\leq  \int_{0}^{+\infty}\left|\int_{0}^{+\infty}(k(t + \delta,s) - k(t,s))f(s,x(s))ds\right|^p\mu(t)dt \\
		&\leq  2\alpha_2^{\frac{p}{q}}\int_{0}^{+\infty}(h(s) + c|x(s)|)^p\mu(s)\left( \int_{0}^{+\infty}|k(t + \delta,s)|-k(t,s)|\mu(t)dt\right) ds\\
		&\leq 2\alpha_2^{\frac{p}{q}}\int_{0\leq\delta\leq A}(h(s) + c|x(s)|)^p\mu(s)\left( \int_{t\geq A}|k(t + \delta,s)| - k(t,s)|\mu(t)dt\right) ds\\
		& +  2\alpha_2^{\frac{p}{q}}\int_{\delta\geq A}(h(s) + c|x(s)|)^p\mu(s)\left( \int_{t\geq 0}|k(t + \delta,s)|-k(t,s)|\mu(t)dt\right)ds\\
		& + 2\alpha_2^{\frac{p}{q}}\int_{0\leq\delta\leq A}(h(s) + c|x(s)|)^p\mu(s)\left(\displaystyle\int_{0\leq t\leq A}|k(t + \delta,s)|-k(t,s)|\mu(t)dt\right) ds.
	\end{align*}
%______________________________________________________________________________________________________	 
	Comme\\
	$\int_{t\geq A}|k(t + \delta,s) - k(t,s)|\mu(t)dt\leq\int_{t\geq A}|k(t + \delta,s)|\mu(t)dt\\ +
	\int_{t\geq A}|k(t,s)|\mu(t)dt\leq c_{A,\delta}\|\varphi_{A,\delta}\|_\infty +\|\varphi_A\|_\infty,C_{A,\delta}=\displaystyle\sup_{t\geq A}\left( \dfrac{\mu(t)}{\mu(t + \delta)}\right) .$\\
	
	Alors
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\begin{equation}
	\displaystyle\lim_{A\rightarrow +\infty}\int_{t\geq A}|k(t + \delta,s) - k(t,s)|\mu(t)dt = 0.\\
	\end{equation}\\
%______________________________________________________________________________________________________	 
	Aussi, comme $ X $ est un ensemble uniformément borné de $ L_{p,\mu}$, alors en utilisant la technique précédente, on peut facilement vérifier que \\
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\begin{equation}
	\displaystyle\lim_{A\rightarrow +\infty}2\alpha_2^{{p}/{q}}\int_{0\leq s\leq A}(h(s) + c|x(s)|)^p\mu(s)\times\left(\int_{{t\geq A}}|k(t + \delta,s) - k(t,s|\mu(t)dt\right)ds = 0 .\\
	\end{equation}
%______________________________________________________________________________________________________	 
	De même en utilisant \textbf{(iv)}on a:\\
	$\displaystyle\int_{s\geq A}\hspace{-0.4cm}(h(s) + c|x(s)|)^p\mu(s)\left(\int_{t\geq 0}\hspace{-0.2cm}|k(t + \delta,s) - k(t,s)|\mu(t)dt\right) ds\leq (1 + C_{0,\delta})\displaystyle\sup_{s\geq A}\varphi_{0}s\left(\|h\|_{p,\mu} + cM\right)^p. $\\
	o\`{u} $ C_{0,\delta}=\displaystyle\sup_{t\geq 0}\left(\dfrac{\mu(t)}{\mu(t + \delta)} \right) $
	 , par conséquent on obtient:\\
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\begin{equation}
	\displaystyle\lim_{A\rightarrow +\infty}2\alpha_2^{{p}/{q}}\int_{s\geq A}(h(s) + c|x(s)|)^p\mu(s)\times\left(\int_{{t\geq 0}}|k(t + \delta,s) - k(t,s|\mu(t)dt \right)ds = 0 .\\
	\end{equation}
%______________________________________________________________________________________________________	 
	Finalement, la continuité de $ (t,s)\mapsto \mu(t)k(t,s) $ sur $ [0,A]^2 $  est  donne .\\
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\begin{equation}
	\displaystyle\lim_{\delta\rightarrow 0}\displaystyle\sup_{0\leq s\leq A}\int_{0\leq t\leq A}|k(t + \delta,s) - k(t,s)|\mu(t)dt = 0
	\end{equation}
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\textbf{preuve:}\\
	Soit $ (x_n)_n $ une suite dans $ L_{p,\mu} $ converge vers $ x $ on peut supposer que
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\begin{equation}\label{H3.5}
	\|x_{n + 1}-x_n\|_{p,\mu}\leq \frac{1}{2^n},\qquad \forall n\in\N.
	\end{equation}\\
%______________________________________________________________________________________________________	 
	Autrement d'après $L_{p}$-continuité de l'opérateur de Nemytskii Th $\eqref{H1.3} $, on considère une sous-suite $ (x_{nj})_j $ de $ (x_n)_n $ qui satisfait l'inégalité $ \eqref{H3.5} $, à l'autre coté un calcul simple montre que :\\
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\begin{equation}\label{H3.6}
	\left[ \int_{0}^{+\infty}|f(t,s,x_n(s))|ds\right]^p\leq |\psi(t)|^p.\int_{0}^{+\infty}\mu(s)|h(s) + |x_n(s)|^\frac{p}{r}|^r ds.
	\end{equation}
%______________________________________________________________________________________________________	 
	en utilisant $ \eqref{H3.5}$ , on obtient\\
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\begin{equation}
	|x_n(s)|\leq |x_1(s)|+\displaystyle\sum_{j\geq 2}|x_j(s) - x_{j-1}(s)| = G(s)\in L_{p,\mu},\qquad \forall n\in \N.
	\end{equation}
%______________________________________________________________________________________________________	 
	Donc $ \forall n \in \N $, on a
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\begin{equation}\label{H3.8}
	y_n(s) = |h(s) + |x_n(s)|^\frac{p}{r}|^r\leq |h(s) + G(s)^\frac{p}{r}|^r \in L_{1,\mu}.
	\end{equation}
%______________________________________________________________________________________________________	 
	De plus, comme $ f(\cdot,\cdot,\cdot) $ est une fonction de Caratheodory et en particulier  la fonction $ x \mapsto f(t,s,x) $ est continue, alors en utilisant $ \eqref{H3.8}$ et le théorème de la convergence dominé, on conclut que:
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\begin{equation}\label{H3.9}
	\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\left[\int_{0}^{+\infty}|f(t,s,x_n(s))|ds\right]^p = \left[\int_{0}^{+\infty}|f(t,s,x(s))|ds\right]^p.
	\end{equation}
%______________________________________________________________________________________________________	 
	Dans l'autre coté, en utilisant $ \eqref{H3.6}$et (\ref{H3.8})on conclut que $\forall t\geq 0 $, on a
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\begin{equation}\label{H3.10}
	\left[ \int_{0}^{+\infty}|f(t,s,x_n(s))|ds\right]^p\leq |\psi(t)|^p(\|h+G^\frac{p}{r}\|_{r,\mu})^r\in L_{1,\mu}.
	\end{equation}
%______________________________________________________________________________________________________	 
	En utilisant $(\ref{H3.9})$ et $\eqref{H3.10}$ et le théorème de la convergence dominé, on conclut que
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\begin{equation}
	\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\int_{0}^{+\infty}\mu(t)\left[\int_{0}^{+\infty}|f(t,s,x_n(s))|ds\right]^p dt\\ = \int_{0}^{+\infty}\mu(t)\left[ \int_{0}^{+\infty}|f(t,s,x_n(s))|ds\right]^p dt.
	\end{equation}
%______________________________________________________________________________________________________	 
	En utilisant l'inégalité précédente et le faite que $ Tx_{n}(t) $ converge ponctuellement vers $ Tx(t) $, on conclut que l'opérateur $ T_f $ est continue sur $ L_{p,\mu} $, par conséquent T est continue.\\
	Rassemblant tout ensemble, on conclut que $ T:B_R\rightarrow B_R $ est compact et continu. \\
	Finalement, en utilisant les résultats ci-dessus et le théorème de point fixe de Schauder, on conclut que l'opérateur intégrale $ T $ a un point fixe.
%______________________________________________________________________________________________________	 
	\begin{example}
		Soit $ \mu(s) = e^{-s} , \quad p = q = 2 $ et on considère l'équation intégrale non linéaire de Hammerstein
%______________________________________________________________________________________________________		 
		\begin{equation}\label{H2.10}
		x(t) = g(t) + \lambda\int_{0}^{+\infty}\dfrac{te^{-s}}{1 + (t + s)^2}\left(x(s) + \dfrac{1}{(1 + s)(1 + x(s)^2)}\right)ds.
		\end{equation}
%______________________________________________________________________________________________________		 
		dans ce cas on a \\
		$$ f(s,x) = x + \dfrac{1}{(1 + s)(1 + x^2)},\quad c = 1 , \quad h(s) = \dfrac{1}{1 + s}\in L_{2,\mu}.$$\\
		De plus en utilisant la notation de théorème précédent, il est facile de voir que:\\
		$$ \varphi_{A}(s) = e^{-s}\int_{A}^{+\infty}\dfrac{te^{-t}}{1 + (t + s)^2}dt\leq\dfrac{e{-s}}{1 + A^2}\rightarrow 0, $$\\
		uniformément dans $ s $. dans l'autre mains, on a\\
		$$ \int_{0}^{+\infty}|k(t,s)|
		\mu(t)dt = e^{-s}\int_{0}^{+\infty}\dfrac{te^t}{1 + (t + s)^2}dt\leq \alpha_1\approx 0.3434,\quad \forall s\geq 0. $$\\
		De plus, comme\\
		$$ \int_{0}^{+\infty} |k(t,s)|\mu(s)^{-\frac{p}{q}}ds = \int_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{1 + ( t + s)^2}ds\leq\alpha_2 = 1 . $$\\
		Alors le théorème précédent implique que $\eqref{H2.10}$  a une solution de $ L_p,\mu $, pour\\
		 $ |\lambda|\leq 2.9122. $ 
	\end{example}
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\begin{center}
\chapter*{$$CONCLUSION$$}
\end{center}
\par Dans ce mémoire, on a présenté quelque résultats en théorie du point fixe dans
des espaces de Banach, et on a appliqué quelque théorèmes du point fixe (principe de
contraction de Banach qui garantit l'existence et l'unicité de solution, Schauder, Leray-Shauder et schaefer assurent l'existence de solution) sur quelques équations intégrales de type Fredholm, Volterra et de Hammerstein.\\
\par Un théorème d'existence ou d'unicité ou les deux à la fois est certes d'une utilité très importante puisqu'il renseigne sur des informations qui aident à guider à la recherche des solutions par des méthodes numériques.
%_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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\end{document} 